Terug naar af: index.html

Tweemaal eb en vloed per dag: waarom?

 

Een leuke vraag voor een spreekbeurt in de brugklas, of voor een gezellig feestje: waarom is er tweemaal per dag eb en vloed? Deze vraag kan ieder kind na een dagje aan het strand bezighouden. Het antwoord is gelukkig niet moeilijk, het rolt vanzelf uit de wet van Newton. Hieronder wordt de verklaring uitgewerkt en toegespitst op een proef op de som: klopt de hypothese met andere gegevens? Twee vragen:

1) tijverschil van springtij is 50% groter dan dat van doodtij. Wat zegt dat over de massa van zon en maan?

2) tijverschil van maansgetij en zonsgetij is 1 meter. Wat zegt dat over de massa van zon en maan?

Animatie van eb en vloed

 

Newton's universele zwaartekrachtwet kan gebruikt worden voor het uitrekenen van de kracht op (of de versnelling van) een waterdruppel in de zee:

(1) gi (xi) = G mi / (ai - xi )2.

(gi = kracht per kg zeewater (m.a.w. een versnelling); mi = massa van hemellichaam i, ai = afstand van hemellichaam tot middelpunt aarde, xi-as is de verbindingslijn van aarde naar hemellichaam i; xi = positie van een waterdruppel op de xi-as).

Het aardoppervlak snijdt de x-as in 2 punten, hier de polen genoemd (de nabije en de verre pool). Het vlak door het midden van de aarde, loodrecht op de x-as, wordt basisvlak genoemd. De snijlijn van het basisvlak met het aardoppervlak wordt basisring genoemd. Deze polen hebben geen vaste positie op het aardoppervlak; als de aarde om zijn as draait (zonder altijd dezelfde kant naar het hemellichaam te wenden) dan reizen ze in een etmaal rondom de aarde.

De eerste orde benadering in de omgeving van de aarde is:

(2) gi (xi) = ( G mi / ai 2 ) (1 + 2xi/ai ) .

De eerste term is de kracht (of versnelling) die de aarde in zijn cirkelbaan houdt. Deze term is uniform voor de hele aarde en als het de enige kracht was zouden alle punten van de aarde zonder verschil meereizen met de baanbeweging van de aarde. De tweede term is de getijdekracht. Deze is 0 in het basisvlak, en maximaal op de twee polen (spiegelbeeldig). Als de aarde bedekt is door een grote oceaan dan veroorzaakt de getijdekracht hoogwater op de polen en laagwater op de basisring.

Het potentiaalveld van de gravitatiekracht is, in de omgeving van de aarde:

Vi(x) = - ( G mi / ai2 ) ( xi + xi2 / ai )

De eerste term is de potentiaal van de kracht voor de baanbeweging, die verdwijnt (wegtransformeert) als de waarnemer meebeweegt met de aarde en die als een inertiaal referentieframe beschouwt. Dan resteert de tweede term, de getijpotentiaal Vi':

(3) Vi' (xi) = - ( G mi / ai3 ) xi2

De equipotentiaalvlakken van Vi'(x) zijn ellipsoiden met de lange as op de xi-as. Overal streeft het zeeniveau naar de hoogte van het equipotentiaalvlak. Dit stuwt het water naar de polen toe, weg van de basisring.

(4) ga Dhi + Vi'(xi) = 0

Hier is Dhi de verheffing van het equipotentiaalvlak. Voor het oceaanoppervlak is dit de evenwichtspositie, waarvan de hoogte varieert in een cyclus van 12 uur (op een vast geografisch punt, zoals Hawaii). Veronderstel voorlopig de pseudostatische situatie, die neerkomt op twee aannames. Ten eerste dat de aarde slechts langzaam om zijn as draait zodat hij de getijgolf niet meesleept en vervormt (afvlakt). Ten tweede dat golfreflecties binnen 12 uur volledig uitdempen, zodat het oceaanoppervlak niet opslingert (resoneert), maar streeft naar verheffing Dhi .

Het potentiaalverschil tussen de pool en een punt van de basisring bedraagt

Vi'(R) = - ( G mi / ai3 ) R2

Het tijverschil, dat is het hoogteverschil van hoog- en laagwater, is dus

Dhi = ( G mi / ai3 ) R2 / ga

Aangezien ga = G maarde / R2 valt dit te vereenvoudigen tot

(5) Dhi = ( mi / maarde ) R4 / ai3

Het is verrassend dat het tijverschil onafhankelijk is van oceaaneigenschappen, zoals de oceaandiepte en de dichtheid van het zeewater. Het maakt niet uit of de oceaan als een ondiepe plas op de aarde ligt of dat de aarde geheel vloeibaar is. Ook de atmosfeer is voldoende oceaanachtig om onderworpen te zijn aan (5). Het sluit aan bij Einsteins opvatting dat gravitatie geen wisselwerking is van 2 lichamen, maar een vervorming van de ruimte opgewekt door het verre lichaam.

In (5) kan ai vervangen worden door een uitdrukking die de omloopstijd Pi bevat, volgens de perkenwet van Kepler:

ai3 = G (mi + maarde) P2 / (4p2) = G mi (1 + maarde / mi) P2 / (4p2)

Substitutie van deze uitdrukking leidt tot

(6) Dhi = 4p2 R4 / (P2 G maarde (1 + maarde/mi) )

Hiermee is het absolute tijverschil van zowel zonsgetij als maansgetij te berekenen: maansgetij Dh = 0.36m, zonsgetij Dh = 0.16m. Dat lijken realistische waarden.

MAAN

ZON

AARDE

P

s

2.36E+06

3.15E+07

m i

kg

7.40E+22

1.99E+30

5.98E+24

R

m

6.38E+06

TIJVERSCHIL (6)

Dhi

m

0.36

0.16

zon/maan 0.46

De berekende Dh is helaas onbetrouwbaar omdat de aannames niet opgaan. Ten eerste is de situatie niet pseudostatisch. Vanwege de rotatie van de aarde moet de getijdegolf een snelheid bereiken van 460 m/s. De voortplantingssnelheid van de getijdegolf is echter onvoldoende: v = sqrt(zeediepte * ga) = 200 m/s (zeediepte 4 km, 'lange golf': golflengte >> diepte). Ten tweede dempen golfreflecties niet binnen 12 uur uit.

Het falen van deze aannames maakt Dh onbetrouwbaar, maar de aannames hebben geen invloed op de ratio Dhzon / Dhmaan, die berekend kan worden met (6):

(7) Dhzon / Dhmaan = ( Pmaan / Pzon)2 ( maarde / mmaan )

Verrassing: springvloed vertelt dus wat de relatieve massa van de maan t.o.v. de aarde is.

Proef op de som: Rechterlid = (27.3/365)2 * (5.98/0.074) = 0.46. Dat klopt met de schatting dat springtij 50% hoger is dan doodtij.

De ratio kan ook berekend worden met (4):

(8) Dhzon / Dhmaan = ( mzon / mmaan ) ( amaan / azon )3

Het tijverschil is dus recht evenredig met de massa van het hemellichaam. In het rechterlid kunnen 2 van de 4 onbekenden vervangen worden door 2 bekenden. Vervang ai door Ri / tg a, waarin a de beeldhoek is die de straal van het lichaam aan de hemel beslaat. Resultaat:

(9) Dhzon / Dhmaan = (rzon / rmaan) (tg azon / tg amaan )3

(ri gemiddelde dichtheid van het hemellichaam). Dit vereenvoudigt verder omdat toevallig amaan = azon, zodat:

(10) Dhzon / Dhmaan = rzon / rmaan

Verrassing: springvloed vertelt dus wat de relatieve dichtheid van zon en maan is.

Proef op de som: Rechterlid = rzon / rmaan = 0.42. Dat klopt met de schatting dat springtij 50% hoger is dan doodtij.

 

Getij van de massieve aarde versus getij van de oceaan

De aarde is meer dan oceaan. De aarde (korst + mantel + kern) is een massieve bal die een eigen aardgetij ondergaat, een elastische vervorming die verschilt van de vloeistofstroming van het oceaangetij. Het getijverschil van de aarde, DR, hangt af van de elasticiteit van de aardbol. Als de aardbol hard is (stijf elastisch, grote elasticiteitsmodulus E), dan is het tijverschil overeenkomstig klein: rek = druk / E, dus DR / R = ra V' / E .

Wegens (4) is V' = -ga Dhi , zodat het tijverschil van een harde knikker gelijk is aan DR = Dhi E0 / E , waar E0 = R ga ra . Met (5) of (6) bereken je Dhi , de factor E0 / E is hierop een correctie. De aardbol is stijf als E>E0 en slap als E<E0 . Als de aarde slap is dan DR = Dhi .

Tabel met E/E0 voor de verschillende materialen waaruit de aarde is opgebouwd :

 

E (Pa)

ra (kg/m3)

E/E0

conclusie

aardkorst: steen (marmer, beton, graniet)

4E+10

2500

0.26

slap elastisch

aardkern: ijzer

22E+10

7900

0.45

slap elastisch

De verrassende conclusie is dat de aardbol voor de getijbeweging geen harde knikker is, maar een slap sponsballetje dat zich zonder weerstand vormt naar het ellipsoidale equipotentiaalvlak. Slap gesteente lijkt vreemd, maar het komt door de omvang van de aarde. Als de aarde kleiner was geweest, zoals Mars, dan was de planeet wel een harde knikker geweest: R ga ra kleiner, dus E/ E0 groter.

Het feitelijke tijverschil van het aardgetij is volgens satellietmetingen inderdaad ongeveer 30 cm (Encarta).

Een paradox die nu opduikt is dat de aarde hetzelfde tijverschil krijgt als de oceaan. Maar dan zou men geen tijverschil van de zee meer kunnen meten met een meetlat die op de aardkorst steunt. Dat het getij van de zee in werkelijkheid toch behoorlijk groot is, is kennelijk daaraan te danken dat er op zee een cumulatief effect is van opeenvolgende getijden, omdat de getijgolf op zee dagenlang naklotst. Een groot oceaanbassin vormt inderdaad een bijna-resonantieruimte voor het oceaangetij. Bijvoorbeeld de Stille Oceaan is een waterbassin van ongeveer 4 km diep en 12000 km breed. De resonantieperiode daarvan is 16 uur. In tegenstelling daarmee is de elastische aardbol effectief geen resonantieruimte voor het aardgetij. De resonantieperiode van de aardbol is ongeveer T = R sqrt(ra / E) = 1/2 uur. Dit verschilt teveel met de getijperiode van 12 uur om te resoneren.

Het falen van de aannames onder (4) is, min of meer, de kraamkamer van de Waddenzee.

 

Opmerkingen:

Terminologie: hoogwater / laagwater, eb=dalen / vloed=stijgen, Tijverschil = hoogwater - laagwater.

Maansgetij M2, zonsgetij S2, springtij, doodtij.

De nabije en de verre pool kunnen ook genoemd worden: de zenith- en de nadirpool.

Het astronomisch getij wordt bepaald door maan en zon.

Stormvloed = astronomisch hoogwater + 'opzet' van de storm

Theoretisch is er ook een getijbijdrage van andere hemellichamen, zoals de planeten en zelfs de Andromedanevel. Deze bijdrage is, vergeleken met het zonsgetij: Dhi / Dhzon = (ri / rzon) (tg ai / tg azon )3. Dat betekent:

- de getijbijdrage van Jupiter is klein: vanwege de kleine beeldhoek, niet de dichtheid;

- de getijbijdrage van de Andromedanevel is klein: vanwege de kleine dichtheid, niet de beeldhoek.

- Mooie getijdencalculator voor de hele wereld: http://tbone.biol.sc.edu/tide/sitesel.html

- De grafieken van die getijdencalculator laten zien dat de 2 getijden per etmaal zeer verschillend kunnen zijn. Bij nieuwe maan in juni reist de nabije pool over de kreeftskeerkring, terwijl de verre pool over de steenbokskeerkring reist. Eilanden als Tenerife en Hawaii die op de kreeftskeerkring liggen krijgen dan maximaal hoogwater van de nabije pool, en 12 uur later slechts partieel hoogwater van de verre pool.

Het begrip 'tijverschil' is dus alleen bij springtij rond 21 maart en 21 september op de hele wereld probleemloos gedefinieerd.

- Het gemiddelde tijverschil is in Den Helder 1 meter en in Zeeland 3 meter. Bij springtij is het tijverschil 0.3 meter hoger dan gemiddeld. Gemiddelde tijverschil op Hawaii is 0.5 meter.

- Springtij treedt ongeveer 2-3 etmalen later op dan volle maan, dit is de zgn. leeftijd van het getij. NB: springtij/doodtij is een 14 daagse sinusachtige amplitudemodulatie van de getijcurve. Springtij duurt in die zin niet slechts 1 dag, maar bijna een hele week.

De watersnood van 1 februari 1953 was de hoogste stormvloed van de 20ste eeuw. Bij Hoek van Holland werd 385 cm boven Normaal Amsterdams Peil (NAP) gemeten, terwijl dit voor het astronomisch getij 80 cm bedroeg. De extra verhoging door de storm was dus 305 cm. Bij Vlissingen kwam het water tot +455 cm.

De maan beschrijft maandelijks een elliptische baan om de aarde. De schijnbare diameter van de maan is tijdens het perigeum gemiddeld 12% groter dan tijdens het apogeum. Het tijverschil zal dan tijdens het perigeum 40% groter zijn dan tijdens het apogeum, wegens (9).

 


Terug naar Af

counter on iweb